Los apretones de manos: contar sin contar dos veces

El reto matemático del 1 de octubre de 2026 en Más de uno lleva por título «Los apretones en una reunión». Aquí puedes escuchar la pieza de Onda Cero y seguir pensando con una actividad sobre parejas y recuentos.

Contar encuentros, no personas

Imagina una reunión de cinco personas. Cada una saluda una vez a cada una de las demás. ¿Cuántos apretones hay? Cada persona encuentra cuatro manos, pero 5 × 4 cuenta cada saludo dos veces: una desde cada extremo.

El total es 5 × 4 / 2 = 10. Para n personas, la misma idea produce n(n − 1)/2. Es el número de parejas distintas que se pueden formar, siempre que nadie se salude a sí mismo y que cada pareja se encuentre una sola vez.

Un dibujo que evita la trampa

Dibuja cinco puntos y une cada pareja con una línea. Ahora cada línea representa un saludo y tiene dos extremos. Al contar los extremos aparecen veinte; al contar las líneas, diez. El dibujo explica por qué dividimos entre dos.

También puedes incorporar a las personas una por una. La segunda añade un saludo; la tercera, dos; la cuarta, tres; la quinta, cuatro. Así, 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Hemos contado el mismo conjunto de dos maneras.

Cuando cambia la pregunta

Si algunas personas ya se conocen y no todas se saludan, la fórmula anterior deja de describir la reunión. Necesitamos saber qué conexiones existen. Esa distinción es una puerta de entrada a la teoría de grafos: los puntos representan personas y las líneas, relaciones.

Prueba a quitar una línea. El número total de saludos baja en uno, pero la suma de los saludos de cada persona baja en dos. Cada encuentro sigue aportando dos extremos. Es una propiedad que sobrevive aunque no se salude todo el mundo.

Esta actividad es un complemento para el cuaderno, no la transcripción ni la solución anunciada del reto radiofónico. El enunciado de la emisión está en el audio original.

Enlace relacionado: El reto matemático en Onda Cero.