Una demostración bonita tiene algo de plato bien preparado: pocos ingredientes, una combinación precisa y un final que invita a repetir. Este menú reúne cuatro argumentos clásicos. El objetivo es disfrutar de por qué funcionan.
Entrante: un cuadrado hecho de impares
Al pasar de un cuadrado de lado n−1 a otro de lado n, añadimos una franja en forma de L. Esa franja tiene n + (n−1) = 2n−1 puntos.
1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n²
Sumar las franjas desde el primer punto construye el cuadrado entero. También podemos sumar las diferencias de cuadrados: los términos intermedios se cancelan.
Primer plato: los primos no se acaban
Supongamos que todos los primos están en una lista finita: p₁, p₂, …, pₖ. Formemos el número N = p₁p₂…pₖ + 1.
Al dividir N por cualquiera de los primos de la lista, el resto es uno. Pero N es mayor que uno y tiene algún divisor primo. Ese primo no está en la lista: contradicción.
Ojo al detalle: no hemos dicho que N tenga que ser primo. Basta con que alguno de sus divisores primos sea nuevo.
Segundo plato: √2 no es una fracción
Supongamos que √2 = a/b, con enteros positivos a y b sin factores comunes. Entonces a² = 2b², de modo que a² es par y a también lo es: el cuadrado de un impar siempre es impar.
Escribimos a = 2c. Al sustituir, queda b² = 2c², así que b también es par. Los dos tienen el factor dos, contradiciendo que la fracción era irreducible. Por tanto, √2 es irracional.
Postre: una suma que se acerca a uno
Sumamos un medio, un cuarto, un octavo… Si llamamos Sₙ a la suma de los primeros n términos, restar Sₙ a su doble cancela casi todos los sumandos.
2Sₙ − Sₙ = 1 − 1/2ⁿ
Sₙ → 1 cuando n → ∞
Cada suma finita es menor que uno. El valor de la serie infinita es el límite de esas sumas: uno. Esa diferencia entre un paso finito y un límite es parte del sabor.
¿Lo compartimos en un escenario?
En Matemáticas a la carta propongo recorrer ideas como estas con pizarra, preguntas y tiempo para pensar. Un menú adaptable al público, con ingredientes que forman parte de la tradición matemática.